Natural Numbers (e) for Dummies

In this piece of writing, I assume you already have sufficient knowledge of what natural number is. I am also sure many of you are familiar with the constant e in middle, or even high school. The value of e itself was discovered by Leonhard Euler and is defined by an approximation as follows:

e = 2.718281828.....

I have no idea why it is named e, instead of any other letters, but I do know that e is not derived from the initials of Euler's name. This constant is very well known in the world of mathematics and plays an important role in calculus and other fields of mathematics.

Where does e come from, again?

In 1683, someone named Jacob Bernoulli studied compound interest in banks. The initial problem was this: I had $1, then deposited it in a bank that (somehow, seems a bit unrealistic) paid 100% interest once annually. With that, by the end of the year, the account should have $2.

Then, what if the interest was 50%, but was given every 6 months or twice a year? Would the amount of money in the end be different?

With a simple calculation, on the first interest payment, the amount of money becomes:

$1 x 50% + $1 = $1.5

In the second payment, the amount of money is:

$1.5 x 50% + $1.5 = $2.25

or

$1 x 1.5 x 1.5 = $2.25

Now, if the bank were to pay interest four times a year, 25% each for every 3 months, the result would be:

$1 x 1.25 x 1.25 x 1.25 x 1.25 = $2.4414...

If the interest was paid daily, then:

The calculations above converges to a specific value as we increase the amount of payment per year indefinitely, or mathematically speaking, as x goes towards infinity:

This is how e was found.

Unique Properties of e

In everyday life, the natural number e is often synonymous with the exponential growth rate. For example, population growth, radioactive decay, and economic income growth. The question is, why e?

In mathematics, the exponential function with the number e has the following graph:

Consider the green graph. It can be observed that as x or the independent variable gets bigger, the value of y will increase faster. This is quite in line with population growth, where the population continues to increase rapidly, instead of in a linear trend. So, the exponential graph can be the right approach to find the rate of population growth.

This still does not solve the bigger question, if we wanted to use a constant number as a base, why has it to be e, instead of some other arbitrary numbers like 2 or 3?

We will see how the constant e greatly simplifies calculus. The derivative of the e to the x is the function itself:

And the integral of the function is the function itself, plus the constant C.

Another thing that makes an exponential function with the number e is that the value of the gradient and the value of y at a point, as well as the area from a point to negative infinity, are always the same for all real x values! Please prove it yourself.

When we use other numbers, other constants will appear which complicate further calculations. For example:

This has shown that e is a special number, just like 0, 1, phi (3.1415...), and i (an imaginary number defined as the root of minus 1). When we see math as something that means a lot beyond just numbers, math becomes a lot more fun. As a bonus, there's one simple formula from Euler (Eulerian identity) that combines the constants elegantly in my opinion:

How Far Have You Gone?

Waktu masih kecil, sekitar usia SD, saya sering ikut orangtua saya pergi ke Banyuwangi. Perjalanan dari Surabaya ke Banyuwangi makan waktu tujuh jam lebih, jadi lebih enak tidur di mobil daripada bosan. Sesekali, saya bangun lalu nanya ke Mama, "Udah sampai mana, Ma?"

Mungkin nggak cuma saya yang punya cerita kayak gini.

Mungkin nggak cuma di kasus seperti ini kita berpikir, "Udah sampai mana kita sejauh ini?"

Waktu sudah lebih tua sedikit, saya sering berpikir sendiri, "PR-ku udah sampai mana, ya?" atau tugas atau ulangan atau progres sama gebetan pertama atau udah sampai mana saya ditolak sama gebetan pertama tadi.

Itu waktu masalah terbesar di hidup saya cuma PR, tugas, ulangan, dan ditolak gebetan.

Sekarang, ceritanya beda. Hanya saja, yang masih sama adalah bagaimana saya tetap bertanya, "Udah sejauh mana saya sekarang?"

Menjelang ujian masuk NUS dan NTU setahun silam, saya terus berpikir sejauh mana materi yang sudah saya kuasai. Sesekali, saya berhenti belajar dan merefleksikan materi apa yang terbilang susah. Setelah kembali ke rutinitas, saya kembali menggenjot materi yang belum saya kuasai betul-betul tersebut. Akhirnya, hasilnya pun lebih efektif.

Saat mendekati penutupan SNMPTN, saya kembali berpikir apakah pilihan PTN beserta jurusan saya sudah tepat. Kemudian, saya sedikit merombak pilihan yang awalnya ITB jadi ITS. Kembali lagi, itu karena saya bertanya, "Udah sejauh mana kemampuan saya dan faktor sekolah saya berpengaruh?" Dan saya menemukan bahwa sekolah saya nggak punya riwayat meluluskan siswanya ke ITB, seenggaknya dalam sepuluh tahun ke belakang. Maka saya pun mengubur impian memilih kampus gajah duduk tersebut dan memilih kampus yang lebih realistis untuk dijangkau.

Setelah satu semester kuliah pun, saya tetap bertanya demikian dan menemukan jawaban:

"Belum, masih jauh."

Ya, meski IP semester 1 sangat memuaskan, saya belum merasa memberikan kontribusi yang maksimal untuk kampus, termasuk jurusan. Dalam pengaderan, angkatan saya masih terlihat banyak cela, dan saya termasuk bertanggung jawab di dalamnya. Kami semua bertanggung jawab. Dan masih banyak lagi hal yang saya temukan sembari berhenti sejenak dari rutinitas dan mempertanyakan, "Udah sampe mana?"

Sama persis seperti saat saya masih kecil yang berhenti sejenak dari tidur lalu bertanya demikian.

Dan saya yakin saya bakal bertanya seperti itu untuk waktu yang lama, karena hidup terasa masih panjang.

Kalau kamu? How far have you gone?

Goodbye, 2016!

Kebetulan banget post pertama saya di tahun ini persis waktu tahun baru 2017. Anyway, selamat tahun baru 2017 buat yang merayakan. Semoga tahun ini bisa lebih baik dari tahun sebelumnya. Jangan lupa, umur kita nambah satu tahun di tahun ini.

Bicara tahun baru, bagi saya dan teman-teman yang lain, tentu nggak lepas dari refleksi tahun sebelumnya. Kita merenungkan apa yang udah terjadi setahun ke belakang. Hal-hal yang bagus maupun yang kurang mengenakkan terjadi di tahun sebelumnya. Sialnya, cukup banyak hal yang kurang bagus di tahun 2016. Mulai dari munculnya Awkarin yang butthurt sampai lapor polisi (pengikutnya juga ikut muncul, dari Awatit sampai Aw ah Gelap), krisis di Syria, Brexit yang sempat bikin nilai mata uang Inggris anjlok nggak keruan, kasus Ahok, aksi damai yang jadinya malah ngejarah minimarket, sampai Trump jadi presiden Amerika Serikat. 

Seriously, Americans? You did chose Trump as your president?

Beberapa orang penting meninggal di tahun 2016. Satu yang saya ingat: Alan Rickman. 

(sumber: http://www.dnaindia.com/entertainment/report-top-10-memorable-quotes-by-alan-rickman-2165880)

Heran aja sih, kenapa beliau bisa kuat tinggal di Hogwarts berpuluh-puluh tahun tapi sialnya beliau nggak kuat menjalani 2016 sampai selesai?

Tren-tren nggak masuk akal juga muncul di 2016. Kita pasti nggak asing dengan ini:

Mannequin challenge.

Serius deh, apa esensi dari jadi patung selama kurang lebih beberapa puluh detik? Kalau saya disuruh begitu, saya jelas nggak mau. Capek. Terus ada juga bottle flip challenge yang agak ngeselin, soalnya bikin minuman jadi nggak enak diminum lagi. We also may not want to omit that "Kalian semua suci aku penuh dosa" quote.

Oh, satu lagi dari bintang cilik kita. Autotune detected:

Aduh, lupa satu lagi (serius, ini terakhir): om telolet om.

Di balik semua itu, saya tetap bersyukur karena saya masih bisa menyelesaikan resolusi di tahun 2016, walaupun nggak semua. Saya berhasil diterima masuk NUS (baca di sini), lolos masuk ITS, salah satu kampus terbaik di Indonesia (baca di sini), dan dapat nilai UN memuaskan. Keluarga saya juga sehat-sehat aja, dan itu udah sangat cukup buat saya. Hal-hal baik itu lumayan mengompensasi hal yang buruk tadi.

Di tahun yang baru ini, saya juga ingin membuat resolusi baru dan menyelesaikannya, ya, meski resolusinya saya rasa nggak perlu disebar ke orang banyak. Di tahun yang baru ini, saya berharap semua orang bisa bertumbuh ke arah yang lebih baik. Harapannya, tahun sebelumnya bisa jadi pembelajaran dan evaluasi untuk ke depannya. Bagi saya, tahun baru itu bukan masalah pesta mewah untuk menyongsong tahun baru dengan segala macam makanan dan minuman enak, Bukan juga masalah melempar kembang api tepat pada 1 Januari pukul 00.00. Ini bukan hari pesta sejuta umat; bukan juga hari kembang api sedunia

Ini hari tahun baru.

Bukan sekadar momen Bumi telah selesai melakukan satu kali revolusi, tetapi tahun baru adalah waktu yang tepat bagi kita untuk membuka halaman baru dalam kehidupan: membuat resolusi dan mengambil tindakan untuk menyelesaikannya. Apakah saya akan membuat perubahan? Apakah saya akan berpikir dan bertindak lebih bijak dari tahun sebelumnya?

Go ahead. Think and make a change.

Si Payah di Sekolah Pasti Bakal Kaya?

Saya yakin kalian pasti udah nggak asing dengan kalimat ini:

"Belajar yang rajin biar nilai kamu bagus, terus bisa kerja."

Kamu mungkin percaya dengan kalimat tadi sampai jargon-jargon ini menyerang:

"Orang pinter jadi budaknya orang goblok."

"Kata Bob Sadino, percuma kepinteran, nanti ujung-ujungnya jadi bawahan."

"Orang yang nilai rapornya bagus pasti nggak bisa praktik waktu kerja."

"Anak IPA nggak bisa ngalahin anak IPS kalau urusan banyak-banyakan uang."

Ya, mungkin Indonesia jadi satu dari sedikit negara yang warga-warganya berpikir demikian. Katanya, lebih baik jadi goblok, asal pintar dagang sama pintar ngomong, dijamin kaya. Lebih baik nggak bisa hitung-hitungan, daripada nggak bisa kerja. Lebih baik nggak juara satu, daripada nggak juara jumlah duitnya di antara temen-temen. Intinya, si payah di sekolah pasti bakal kaya. Mungkin ada benernya, tapi kalimat-kalimat di atas serasa pedang bermata dua. Kenapa?

(sumber: www.pendidikankarakter.com)

Sisi positif

Kemarin saya membaca How to Win Arguments karya Madsen Pirie, dan saya menemukan poin bahwa dalam berargumen, kita sebaiknya mempertimbangkan dua sisinya: baik dan buruk. Saya tidak ingin jatuh dalam one-sided assessment fallacy, jadi saya coba singgung bagian positif dari kalimat di atas terlebih dahulu.

Yang pertama, nilai sekolah memang nggak selalu menentukan kesuksesan. Contoh yang paling gampang saja, Bill Gates bahkan nggak menyelesaikan studi di Harvard, namun bisa kaya seperti sekarang. Contoh yang lain, saya pernah dengar dari teman saya bahwa ada orang yang suka bolos ke warnet semasa SMA, namun sekarang punya usaha yang sukses. Di sisi yang lain, orang pintar yang biasanya ngasih sontekan ke orang payah di sekolah itu, kerjanya jadi sales. Jelas jadi bawahan orang payah tadi.

Selanjutnya, nggak semua orang memang punya passion di bidang sains atau cabang akademik lainnya. Gampangnya, apa yang saya suka belum tentu kamu suka juga. Saya pernah kenal teman yang sangat jago IT, padahal nilainya biasa-biasa saja. Ada juga teman saya yang pintar main musik, khususnya drum, padahal nilainya biasa saja. Jadi, kalimat tadi bisa buat sedikit menyemangati mereka yang memang nggak terlalu bagus di bidang akademik.

Sisi negatif

Sayangnya, dari kalimat tadi, menurut saya lebih dominan sisi negatif daripada sisi positifnya.

Alasan utamanya adalah, kalimat ini merendahkan orang yang memang berbakat di bidang akademik. Katakanlah siswa yang bernama Budi memang pintar matematika sejak kecil, namun karena membaca atau mendengar pernyataan itu, dia rendah diri. Akhirnya, Budi mengubur dalam-dalam keinginannya untuk belajar dan nilainya pun terjun bebas. Budi pun nggak jadi seseorang yang berguna karena bakatnya nggak dipakai.

Ya, memang jumlah orang yang berbakat di bidang akademik lebih sedikit daripada yang tidak. Tetapi, itu bukan alasan untuk mendiskriminasikan mereka. Yang mayoritas belum tentu paling benar. Menurut saya, keduanya benar. Nggak ada yang salah.

Lagi pula, di Indonesia, memang ada bidang-bidang yang mendapat sedikit apresiasi dalam bentuk pendapatan maupun hak cipta, semisal sains dan teknologi. Meski begitu, itu bukan alasan untuk merendahkan mereka yang memang cemerlang di sekolah. Apa yang menurutmu sukses, belum tentu menurut mereka sukses. Misalnya, kalian mendefinisikan sukses itu bagaimana kalian punya banyak uang. Menurut mereka, bisa saja definisinya bukan seperti itu.

Yang nggak kalah penting, statement tadi bisa jadi excuse untuk mereka-mereka yang malas. Pertama-tama, mereka memilih masuk IPS karena merasa lebih santai, dikit PR, dan hitung-hitungannya nggak ribet. Ya, sebenarnya IPA dan IPS sama saja, namun IPS jadi rusak di mata khalayak umum karena orang-orang macam mereka. 

Kemudian, mentang-mentang beban di kelas cuma dikit, mereka sering bolos sekolah untuk pergi merokok atau main warnet. Waktu senggang mereka habiskan dengan hal yang sama. Ketika ditanyain, mereka cuma jawab, "Halah, sekolah nggak menentukan kesuksesan. Gue pasti sukses meski tanpa sekolah."

Plis, meski kalian nggak berbakat akademik, seenggaknya usaha buat dapat nilai yang cukup. Seenggaknya coba ngembangin bakat kalian. Seenggaknya coba kurang-kurangin asumsi yang sangat menyalahi logika itu.

Kesimpulannya, si payah di sekolah belum tentu kaya, dan si pintar di sekolah belum tentu biasa-biasa saja. Faktanya, Albert Einstein sebenarnya pintar di sekolah, dan dia terkenal sampai sekarang. Ya, pernyataan kalau Einstein bodoh waktu masih sekolah itu mitos, karena ada inversi skala nilai waktu itu. Kalian bisa baca di https://www.quora.com/Is-it-true-that-Albert-Einstein-failed-in-mathematics-many-times-during-his-school-days.

Semuanya kembali ke usaha kita, nggak peduli kita masuk ke "tim payah" atau "tim pintar".