Natural Numbers (e) for Dummies

In this piece of writing, I assume you already have sufficient knowledge of what natural number is. I am also sure many of you are familiar with the constant e in middle, or even high school. The value of e itself was discovered by Leonhard Euler and is defined by an approximation as follows:

e = 2.718281828.....

I have no idea why it is named e, instead of any other letters, but I do know that e is not derived from the initials of Euler's name. This constant is very well known in the world of mathematics and plays an important role in calculus and other fields of mathematics.

Where does e come from, again?

In 1683, someone named Jacob Bernoulli studied compound interest in banks. The initial problem was this: I had $1, then deposited it in a bank that (somehow, seems a bit unrealistic) paid 100% interest once annually. With that, by the end of the year, the account should have $2.

Then, what if the interest was 50%, but was given every 6 months or twice a year? Would the amount of money in the end be different?

With a simple calculation, on the first interest payment, the amount of money becomes:

$1 x 50% + $1 = $1.5

In the second payment, the amount of money is:

$1.5 x 50% + $1.5 = $2.25

or

$1 x 1.5 x 1.5 = $2.25

Now, if the bank were to pay interest four times a year, 25% each for every 3 months, the result would be:

$1 x 1.25 x 1.25 x 1.25 x 1.25 = $2.4414...

If the interest was paid daily, then:

The calculations above converges to a specific value as we increase the amount of payment per year indefinitely, or mathematically speaking, as x goes towards infinity:

This is how e was found.

Unique Properties of e

In everyday life, the natural number e is often synonymous with the exponential growth rate. For example, population growth, radioactive decay, and economic income growth. The question is, why e?

In mathematics, the exponential function with the number e has the following graph:

Consider the green graph. It can be observed that as x or the independent variable gets bigger, the value of y will increase faster. This is quite in line with population growth, where the population continues to increase rapidly, instead of in a linear trend. So, the exponential graph can be the right approach to find the rate of population growth.

This still does not solve the bigger question, if we wanted to use a constant number as a base, why has it to be e, instead of some other arbitrary numbers like 2 or 3?

We will see how the constant e greatly simplifies calculus. The derivative of the e to the x is the function itself:

And the integral of the function is the function itself, plus the constant C.

Another thing that makes an exponential function with the number e is that the value of the gradient and the value of y at a point, as well as the area from a point to negative infinity, are always the same for all real x values! Please prove it yourself.

When we use other numbers, other constants will appear which complicate further calculations. For example:

This has shown that e is a special number, just like 0, 1, phi (3.1415...), and i (an imaginary number defined as the root of minus 1). When we see math as something that means a lot beyond just numbers, math becomes a lot more fun. As a bonus, there's one simple formula from Euler (Eulerian identity) that combines the constants elegantly in my opinion:

Is Moving Mass Really a Thing?

At some point, in modern physics, we (will) study Einstein's relativity and come across with the stationary mass and moving mass terms. When I learned about it, it kind of made sense. But, over time I thought that this was strange. If you want to know why, take a look at the image below.

(source: youstupidrelativist.com)

According to Einstein's theory of relativity, many things are not absolute, such as speed, object length, time, and so on. In fact, it all depends on which frame of reference we look at, there is nothing wrong with that. For the picture above, it can indeed be explained by a long contraction (length contraction). However, the question is, does the mass of the person actually change as he moves about a certain frame of reference?

To answer that, I've thought and done some research so that I can draw a conclusion: relativistic mass theory is probably obsolete! In essence, moving mass actually does not exist in my opinion.

What is mass?

According to Wikipedia, mass means property or ownership of an object. According to classical physics, the greater the mass of an object, the harder it is to make it accelerate when a force is applied to it. According to modern physics, mass is actually the same as energy, only in a different form. This is also known as mass-energy equivalence.

Modern physics has succeeded in explaining how an object can have a certain mass. Objects, apart from being composed of atomic nuclei (protons and neutrons) and electrons, are also composed of particles that cannot be seen by the naked eye. One type is the gluon sub-particle which bridges between the particles in the atomic nucleus to exert a strong force of attraction. The stronger the field flux produced by the gluon, the stronger the force. Well, the attractive force is the origin of the energy we know as bond energy. However, the actual mass of an object comes from that energy. So, that's the origin of the mass of objects.

Does velocity change mass?

(source: Studying Physics Made Practical by Aip Saripudin et al., in Indonesian)

According to this formula, the mass of an object depends on its velocity. Since the denominator is always less than 1, the moving mass will always be greater than the rest mass. The same statement is also found in the Physics textbook by Marthen Kanginan.

So, when we think a little, if we drop an object as small as sand at a speed close to light, say 290,000,000 m/s, the formula will be:

But:

The denominator approaches 0 as the speed approaches the speed of light. So, even moving mass must approach infinity! Very strange result, how can an object have such a large mass just because its velocity is large? That's what started my line of thought about this.

Secondly, if the mass of the object becomes very large because of the velocity, how does the velocity affect the sub-particles in the object so that the bond energy becomes very large? Through friction? However, in outer space there is no air resistance, right? Scientists at that time still could not explain this phenomenon. The concept of relativity becomes even more complicated with the moving mass term.

What goes beyond this

Now, scientists define mass as an inherent property of an object, another term is mass invariant. That is, the mass does not depend on the frame of reference of the observer of an object. If an observer at rest sees an object with a mass of three kilograms, an observer in motion will see an object with a mass of three kilograms as well.

In my opinion, what increases with the relativistic velocity is the kinetic energy. The greater the speed, the greater the kinetic energy. So, it is the increase in energy that makes an object seem heavier and denser, because of the mass-energy equivalence described above. Mass and energy are similar, so we think that mass is changing, when actually it is not.

Medan Gravitasi atau Gaya Gravitasi?

Banyak yang tahu apa itu gravitasi. Mungkin sebagian orang menjawab, "Gravitasi itu yang membuat benda-benda jatuh." Beberapa yang lain mungkin mendefinisikannya sebagai tarik-menarik antara benda-benda yang ada di sekitar kita. Sejauh yang masyarakat awam pahami, itu penjelasan tentang apa itu gravitasi.

Masalahnya, definisi di atas terlalu umum. Saya sejak dulu penasaran, sebenarnya gravitasi itu medan atau gaya?

Waktu masih kecil, saya sering mempertanyakan banyak hal. Misalnya, saya pernah membaca suatu buku dan langsung paham bahwa gravitasi adalah gaya tarik menarik antara dua benda. Saat SMA, saya juga belajar bahwa gravitasi juga merupakan sebuah medan. Setelah itu, definisi gravitasi sendiri seperti menjadi lebih kompleks setelah teori Einstein keluar. Jadi, saya mencoba untuk melakukan sedikit riset.

Apa itu gravitasi menurut para ahli fisika klasik?

Menurut Aristotle, gravitasi adalah suatu hal yang menimbulkan kecenderungan benda-benda untuk jatuh ke pusat alam semesta. 

Medan gravitasi atau gaya gravitasi: tidak dijelaskan.

(sumber: www.aplusphysics.com)

Karena pusat alam semesta berimpit dengan pusat Bumi, maka benda-benda otomatis jatuh menuju pusat Bumi. Hal yang menjadi masalah adalah mengapa planet-planet dan Matahari nggak jatuh ke pusat Bumi juga? Karena pertanyaan ini, teori gravitasi Aristotle terabaikan.

Yang kedua, fisikawan asal Inggris, Isaac Newton, mempublikasikan teorinya dalam buku Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica seperti ini:

Semua partikel di alam semesta saling menarik partikel yang lain dengan besar gaya yang sebanding dengan hasil kali kedua massa partikel dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat kedua partikel tersebut. Arah dari gaya gravitasi searah dengan garis lurus yang menghubungkan kedua partikel.

Selain itu, Newton juga lebih menekankan percepatan gravitasi sebagai percepatan benda untuk menuju ke pusat Bumi, bukan sebagai kuat medan gravitasi itu sendiri. Hal ini disebabkan karena teori Newton ini dianalogikan sebagai teori tug-of-war, yaitu tarik-menarik.

Medan gravitasi atau gaya gravitasi: gaya.

(sumber: www.astronomygcse.co.uk)

Analisis teori Einstein

Revolusi besar dalam pemahaman kita mengenai gravitasi terjadi pada 1907 ketika fisikawan asal Jerman, Albert Einstein, merilis teori tentang relativitas umum. 

Pertama-tama, Einstein menegaskan bahwa gravitasi sebenarnya adalah kelengkungan empat dimensi ruang-waktu karena adanya benda bermassa. Semakin besar massa suatu benda, semakin dalam lengkungannya. Ini gambarnya kalau kalian nggak paham dengan penjelasan verbal. 

(sumber: www.waykiwayki.com)

Setelah itu, Einstein mengatakan bahwa gravitasi jelas bukan gaya tarik-menarik seperti yang dikemukakan oleh Newton.

Para ilmuwan pun mengetes teori Einstein, dan memang teori ini bisa menjelaskan perubahan orbit Merkurius mengelilingi Matahari, perubahan arah cahaya saat mendekati Matahari di kondisi gerhana Matahari, serta penemuan exoplanet ketika dipadukan dengan teori efek Doppler.

Singkatnya, teori Einstein lebih luas dalam menjelaskan gravitasi. Bahkan, dalam suratnya, Einstein mengungkapkan permintaan maaf pada Newton. Jadi, kita akan menggunakan penjelasan teori ini untuk selanjutnya.

Medan gravitasi atau gaya gravitasi: medan.

Jadi, gravitasi itu gaya atau medan?

Sebelum lanjut, ada baiknya kita bahas sedikit tentang gaya fiksi. 

Menurut Wikipedia, gaya fiksi (disebut juga gaya pseudo, gaya d'Alembert, atau gaya inersia) adalah gaya yang sebenarnya tidak ada menurut pengamat di luar, namun dapat dirasakan oleh pengamat yang berada dalam kerangka acuan yang mengalami percepatan. Misalnya gaya sentrifugal dan gaya Coriolis.

Ilustrasinya seperti ini:

(sumber: cnx.org)

Yang kiri adalah menurut pengamat yang ada di komidi putar (ada gaya fiksi ke luar), sedangkan yang kanan adalah menurut pengamat yang sedang diam di luar komidi putar (cuma ada gaya sentripetal menuju ke pusat lintasan).

Di teori relativitas umum, Einstein juga menjelaskan dengan prinsip ekuivalensi bahwa:

Keadaan suatu benda yang berada dalam medan gravitasi bisa dikatakan ekuivalen dengan suatu benda yang berada dalam kerangka yang mengalami percepatan ke atas.

(sumber: www.astronomynotes.com)

Karena teori relativitas terlalu susah untuk dijelaskan secara matematis, jadi saya mencoba menjelaskan secara verbal. 

Pada gambar sebelah kiri, bola dijatuhkan di dalam elevator yang diam (a = 0) dan kemudian mengalami percepatan sebesar g. 

Di gambar kanan, elevator bergerak dengan percepatan -g (arahnya ke atas) di ruang hampa, dalam arti gravitasi bisa diabaikan. Namun, orang tersebut merasakan, dengan kata lain, mengerjakan gaya reaksi terhadap lantai, hasil dari percepatan elevator ke atas sebesar F = mg. Jadi, menurut kerangka acuan orang tersebut, bola jatuh dengan percepatan g. Ini yang dimaksud dengan prinsip ekuivalensi. 

Menurut pemikiran saya, dengan menghubungkan prinsip ekuivalensi dan gaya fiksi, kita bisa mengatakan bahwa gaya gravitasi F = mg yang sudah kita bahas tadi adalah gaya fiksi. Ingat, elevator juga merupakan kerangka acuan yang dipercepat, jadi perbandingan antara komidi putar dan elevator ini analog. 

Konklusi

The bottom line, gravitasi adalah medan dan gaya. Medan gravitasi itulah yang menyebabkan adanya percepatan sehingga kita bisa merasakan gaya gravitasi yang sebenarnya gaya fiksi.  

Oke, saya udah berpikir dan menulis postingan ini selama empat jam lebih. Kurang lebih begitu penjelasannya. Kapan-kapan, saya akan coba berpikir lagi mengenai gaya gravitasi sebagai salah satu dari empat gaya fundamental di alam semesta ini.

P.S.: beberapa referensi saya untuk crosscheck adalah Wikipedia,
https://www.quora.com/Is-gravity-a-fictitious-force-How-so ,
serta buku berjudul Physics for Scientists and Engineers karya Serway dan Jewett.

Mengapa Matematika dan Fisika Susah?

Oke, I’m back. Yah, setelah sekian lama nggak ngeblog—dua bulan tepatnya—karena perlu ngumpulin mood menulis lagi. Kebayang lah ya, buat nulis aja perlu mood, apalagi buat nyenengin gebetan. Nggak mungkin asal-asalan, soalnya udah bener-bener niat buat hal demikian. Oke, ini menyimpang dari topik.

Jadi, saya belakangan ini sering berpikir mengapa banyak dari teman-teman yang sering dapat nilai jelek waktu ulangan Matematika atau Fisika walaupun sudah belajar semalaman. Di sisi lain, ada segelintir kelompok yang seperti ini. Anggap aja kita A dan si genius gila itu B.

A: Kemarin nggak masuk, kan? Hari ini ulangan Matematika, Bro! Belum tau ya?

B: Oh ya?! Baca-baca dikit wes biar nggak buntu.

Dan setelah ujian, kita dapat 60 dan si B dapat 100. Paling jelek 90 lah. Hih, I know that feel lah. Rasanya pengen banting meja terus ngutuk diri sendiri.

Contoh berikutnya seperti ini:

A: Haduh, gimana sih ngintegralin ln^2(x)?! (Silakan post jawabannya di komentar kalau kalian nemu, ya.)

B: *lagi tidur di bangku sebelah, jawabannya udah ada*

By the way, kita sudah ngerjain dari setengah jam yang lalu, sementara si B sudah tidur sejak 25 menit yang lalu. Memang, ada dua kemungkinan, (1) si B jawabnya ngawur, jadi meski cepet jawabannya tetep saja salah, (2) si B memang bener. Tapi, di sini coba aja kita asumsikan dia ada di kemungkinan kedua. Rasanya sebel banget pengen makan buku.

Pertanyaannya, kenapa pelajaran eksakta, terutama Matematika dan Fisika, terasa sangat susah? Rasanya rumus-rumus seperti bahasa alien dan angka-angka seperti makhluk "sbfsdufhduieghurhfdjfyua" yang nggak masuk akal. *memang nggak ada sih*

Setelah menganalisis kedua contoh di atas dan berpikir tujuh malam, akhirnya saya menemukan kesimpulan mengapa hal-hal kayak di contoh itu bisa terjadi:

1. Otak kita sebenarnya diciptakan untuk memecahkan masalah-masalah yang konkret, sedangkan eksakta cenderung membahas permasalahan yang abstrak. Abstrak? Iya. Nggak percaya? Coba jelasin konsep limit delta-epsilon sekonkret mungkin dan yang terlihat seperti konsep itu applicable di dunia nyata. Bisa nggak?

Ini dia alasan fundamentalnya: susunan otak kita secara primitif memang seperti itu. Manusia zaman dulu hanya berpikir bagaimana untuk menghasilkan makanan, menghindari binatang buas, mencari tempat tinggal yang aman, dan semacamnya. Yah, meski peradaban sudah berkembang, kita masih menyimpan sebagian kecil dari bagian primitif manusia. Satu-satunya cara agar kita bisa mulai berpikir abstrak ya latihan dan menanamkan mindset yang benar.

2. Matematika dan Fisika memang makin lama makin susah. Dulu, waktu Om Newton masih hidup, rumusnya paling sebatas F= m.a alias gaya sama dengan massa dikali percepatan. Namun, ketika ilmuwan-ilmuwan lain nggak terima keadaannya begitu-begitu aja, akhirnya mereka membuat rumus-rumus yang makin lama makin njlimet. 

(sumber: khusnul22khotimah.web.unej.ac.id)

Itu persamaan Schrodinger yang terkenal untuk menghitung peluang adanya partikel dalam sistem kuantum. Gimana menurut kalian?

Masalahnya, bukannya mustahil kan kita menguasai konsep seperti ini?

3. Cara belajarnya salah. Biasanya, gimana sih cara kalian belajar Matematika? Katakan saja bab turunan. Mungkin kebanyakan dari kalian jawabnya, "Lihat caranya, terus contoh soal, terus cara kerjainnya." Ada juga yang jawab, "Hafalin aja rumusnya. Misal rumus lingkaran itu kan x^2+y^2=r^2."

Bisa-bisa aja sih sebenernya belajar seperti itu. Tapi, waktu soalnya diutak-atik sesukanya yang buat soal, kalian bisa apa? Matematika dan Fisika akan jadi terasa jauh lebih susah dari yang seharusnya!

Memang sih, sistem pendidikan kita mengedepankan hafalan, bukan pemahaman secara konseptual. Tapi, nggak ada salahnya kan kita mulai belajar konsepnya dulu? Misal, tau nggak kalau persamaan lingkaran itu sebenarnya dari segitiga di dalam lingkaran lalu kita cari komponen vektor dari jari-jari lingkaran supaya nemu rumus itu dalam bentuk persamaan Cartesius?

4. Memang nggak suka belajar Matematika dan Fisika. Ini nih yang paling helpless. Sekuat apa pun kapasitas otaknya, kalau sudah nggak niat, ilmunya buat masuk pun susah. Sebaliknya, kalau kita niat belajar (bukan cuma supaya dapat nilai bagus, tapi untuk ngerti ilmunya), ilmunya pun rasanya gampang banget masuk ke otak. 

Kalau dirangkum, kita bisa buat kesimpulan seperti ini:

(sumber: geniusquotes.org)

Jadi, Matematika dan Fisika terasa susah karena kita terkadang hanya belajar keras, tapi nggak belajar dengan cerdas. Akhirnya, keempat faktor di atas jadi batu sandungan yang sangat besar, padahal sebenarnya nggak besar-besar amat.

Begitu.

Cara Keluar dari Black Hole

Lubang hitam atau yang sering kita sebut black hole adalah benda yang sangaaaatt, sangat kecil di alam semesta, nyaris menyerupai titik. Jika didefinisikan secara kasar, black hole ini merupakan sisa-sisa dari bintang yang sudah mati. Tetapi, nggak semua bintang yang sudah mati otomatis menjadi black hole. Ketika massa inti dari sebuah bintang melebihi dua atau tiga kali lipat dari massa Matahari, bintang itu akan terus menyusut oleh pengaruh gravitasinya sendiri sehingga menjadi titik yang sangat kecil, namun dengan kekuatan gravitasi yang diyakini bisa menarik apa pun di alam semesta, bahkan cahaya sekalipun.

(sumber: hendrix2.uoregon.edu)

Daerah yang terpengaruh oleh tarikan gravitasi black hole disebut dengan cakrawala kejadian atau event horizon (agak aneh kalau diterjemahkan ke bahasa Indonesia). Jari-jari Schwarzchild sendiri merupakan jari-jari dari event horizon, atau dalam tulisan ini berarti jarak minimum yang harus ditempuh untuk keluar dari tarikan gravitasi black hole.

Sekarang, bagaimana cara keluar dari black hole jika sudah terjebak di sana?

Bayangkan keadaan di Bumi ketika roket memerlukan kecepatan minimal untuk meluncur ke luar angkasa. Pada saat di titik tertinggi yang bisa dicapai roket, tentunya kecepatan sama dengan nol.

(sumber: www.school-for-champions.com)

Ya, jadi kita memerlukan kecepatan yang bisa membawa kita keluar dari black hole, atau seenggaknya hanya menyentuh bagian terluar event horizon agar tidak tertarik oleh gaya tarik lubang hitam!

Pertanyaannya, seberapa cepat?

Mari kita buktikan dengan perhitungan menurut konsep gravitasi:

Kita bayangkan diri kita dan planet atau black hole sebagai suatu sistem yang dipengaruhi oleh gaya konservatif saja, yaitu gaya gravitasi. Jadi, energi mekanik selalu kekal.

Lalu, energi potensial yang digunakan di sini adalah energi potensial gravitasi, bukan energi potensial mgh, karena nilai kuat medan gravitasi di konteks ini semakin berkurang seiring bertambahnya jarak ke pusat planet.

(Jarak akhir sama dengan tak hingga, dan bilangan dibagi tak hingga sama dengan nol.)

Dengan G sebagai konstanta gravitasi universal, M sebagai massa planet atau bintang, dan r sebagai jari-jari planet atau bintang jika kita berada di permukaan planet/bintang.

Anggaplah kita terjebak di  XTE J1650-500 di konstelasi Ara yang merupakan black hole paling ringan saat ini. Massanya berkisar lima hingga sepuluh kali lipat massa Matahari, jadi kita ambil titik tengahnya saja, yaitu 7,5 kali lipat.

Namun, jika menggunakan cara yang sama untuk mengukur kecepatan minimal untuk keluar dari lubang hitam bermassa seratus kali massa Matahari, kita akan menemukan hasil yang hampir sama dengan hasil di atas.

Menurut hasil perhitungan di atas, kecepatan minimal untuk keluar dari black hole, baik yang bermassa kecil maupun besar, kurang lebih sama dengan kecepatan cahaya, yaitu 300.000.000 meter per sekon.

Hanya saja, dapat disimpulkan bahwa sangat berbahaya untuk melaju sebatas kecepatan minimal. Minimal di sini berarti kecepatan harus lebih besar dari hasil di atas, bukan harus lebih besar atau sama dengan. Cahaya sendiri dapat tertarik ke dalam lubang hitam.Oleh karena itu, kita memerlukan kecepatan yang lebih besar daripada hasil di atas. Masalahnya, para ilmuwan belum menemukan kemungkinan suatu benda bergerak lebih cepat dari cahaya.  Jika pada suatu saat ilmuwan sudah menemukan cara melaju lebih cepat dari cahaya, mungkin kita bisa keluar masuk area black hole sesuka hati untuk penelitian, melakukan teleportasi, atau bahkan menciptakan mesin waktu.

Jadi, jangan dekat-dekat event horizon lubang hitam kalau belum siap bergerak lebih cepat dari cahaya.

Pembuktian 1 = 2

Ada satu pertanyaan matematika yang sangat menarik: bisakah sebuah bilangan n sama dengan bilangan lain, misalnya 2n?

Jawabannya adalah bisa saja!

Pada post ini, kita akan mencoba membuktikan dengan konsep aljabar sederhana bahwa 1 = 2. Prinsip yang akan digunakan bisa diterapkan untuk membuktikan semua bilangan asli n sama dengan bilangan 2n. Mungkin proses yang akan digunakan sedikit aneh, namun pada akhirnya para pembaca akan terkejut dengan hasil akhirnya.

Kita mulai!

1. Misalkan saja n = 1. Tentu saja satu sama dengan satu, dong. Jadi, kita bisa tulis n = n.
2. Kuadratkan kedua ruas.
3. Kurangkan kedua ruas dengan n kuadrat.
4. Pada ruas kiri, keluarkan n. Sedangkan, pada ruas kanan, gunakan sifat (a+b)(a-b) yang sudah diajarkan di aljabar SMP.
5. Coret yang sama.
6. Maka ketemu n = 2n

Ini dia penggambaran lengkapnya:

Coba deh tebak, bagian mana yang salah?

Pada baris kedua dari terakhir, kita membagi kedua ruas dengan n-n. Nah, sedangkan n-n sendiri pasti sama dengan nol. Maka, secara tidak langsung, kita membagi kedua ruas dengan nol. Hal ini membuat hasilnya menjadi tidak terdefinisi, karena setiap bilangan yang dibagi nol adalah tidak terdefinisi. Jadi, bisa disimpulkan kalau pembuktian ini tidak valid.

Hal ini disebut sebagai kekeliruan matematika atau mathematical fallacy, yaitu pembuktian dengan prinsip yang salah. Lucunya, prinsip ini tertutupi, sehingga kesalahan ini nggak terlihat secara sekilas. Contohnya ya pembagian dengan nol di atas, namun tertutupi dengan penulisan aljabar n-n, sehingga kita lupa bahwa n-n sama dengan nol.

Kesimpulan akhirnya adalah: 1 tidak sama dengan 2.

Apa Itu Hukum Newton?

Seseorang pernah berkata pada saya, 

"Fisika itu pelajaran hitung-hitungan!"

"Rumusnya banyak!"

Well, saya nggak mau bilang dia salah. Tapi, dia juga nggak sepenuhnya benar. Fisika memang penuh dengan rumus matematis, karena Matematika sendiri adalah bahasa Fisika. Tetapi, yang paling penting dari Fisika sendiri adalah....

Konsep.

Tanpa konsep, nggak akan ada rumus-rumus yang kita pusingkan sekarang. Tanpa konsep, nggak akan ada penjelasan tentang fenomena alam lainnya. Tanpa konsep, Fisika hanya jadi pelajaran yang nyaris nggak ada bedanya dengan Matematika.

Kita masuk ke satu contoh bab. Sebut saja tentang Hukum Newton. Rumusnya memang cuma satu: F = ma. Beres. Kayaknya, dengan menguasai rumus itu, kita juga sudah menguasai Hukum Newton dan bab yang berkaitan dengan dinamika gaya lainnya.

Salah besar!

Definisi "paham"-mu belum bisa dibilang paham kalau kamu belum bisa jawab pertanyaan ini:

1. Mengapa besar percepatan berbanding terbalik dengan massa?
2. Ketika mobil mengerem mendadak, ke arah manakah sebuah benda akan jatuh?
3. Jika terdapat gaya luar sebesar 100 Newton dan gaya gesek sebesar 100 Newton juga, apakah keduanya termasuk sepasang gaya aksi-reaksi?
4. Apakah benda bisa mengerjakan gaya pada dirinya sendiri?

Di sinilah konsep benar-benar diperlukan. Jadi, Fisika bukan sekadar rumus yang harus dihafal!

Mari kita bahas tentang Hukum Newton alias hukum yang mempelajari tentang gerak. Saya jelaskan menurut pengetahuan saya.

HUKUM I NEWTON

Zaman dulu, orang-orang mengira bahwa benda yang bergerak memiliki kecenderungan untuk berhenti pada suatu titik, misalnya saja bola yang ditendang. Setelah beberapa lama, bola itu akan melambat dan akhirnya berhenti. 

Namun, Galileo Galilei menentang pendapat tersebut. Beliau mencetuskan bahwa sebenarnya benda memiliki kecenderungan untuk menentang perubahan gerakan, yang sekarang kita kenal sebagai kelembaman atau inersia.

Kemudian, berdasarkan argumen Galileo, Isaac Newton mematenkan suatu teori yang kita gunakan hingga sekarang. Isinya kurang lebih seperti ini:

Jika tidak ada gaya luar yang bekerja, benda akan tetap diam atau bergerak dengan kecepatan konstan.

Salah satunya adalah gerak satelit di luar angkasa. Satelit tidak mengalami gaya yang searah dengan kecepatan (gaya yang dialami hanyalah gaya sentripetal yang tegak lurus dengan arah kecepatan). Oleh karena itu, satelit hanya mengorbit dengan kecepatan konstan.

Contoh yang kedua adalah ketika mobil mengerem mendadak, kita akan terdorong ke depan. Mengapa? Karena tubuh kita punya kecenderungan mempertahankan keadaan asalnya, yaitu bergerak ke depan. Ketika mobil mengalami perlambatan secara tiba-tiba, kita masih bergerak ke depan. Oleh karena itu, kita terdorong ke depan.

Berdasarkan teori tersebut, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan:

1.  Hukum I Newton sebenarnya menjelaskan apa yang terjadi ketika tidak ada gaya luar yang bekerja, bukan ketika resultan atau total gaya yang bekerja pada suatu benda sama dengan nol. Ya, memang, pada akhirnya formula sigma F = 0 akan digunakan dalam kondisi tertentu.
2. Dapat dikatakan bahwa semakin besar massa, inersia benda tersebut semakin besar. (Bukan momen inersia!)
3. Berdasarkan prinsip ini, benda tidak bisa mengerjakan gaya pada dirinya sendiri, karena sifat alami benda yaitu tetap mempertahankan keadaannya. Seandainya benda bisa mengerjakan gaya pada diri sendiri, benda itu akan mengalami percepatan dan mengubah geraknya sendiri. Memang, ada gaya antarpartikel di dalam suatu benda, namun gaya-gaya tersebut saling meniadakan sehingga resultannya nol.

HUKUM II NEWTON

Hukum Newton ini menjelaskan tentang benda yang sedang bergerak dengan percepatan konstan.

Sekarang, coba pikirkan, ada sebuah balok bermassa 10 kilogram, lalu didorong dengan gaya konstan 50 N. Yang kedua, dengan balok yang sama, cobalah dorong dengan gaya sebesar 100 N. Mana yang lebih mudah bergerak atau mulai mengalami percepatan? Tentu gaya yang 100 N! Kita bisa menyimpulkan bahwa besar percepatan berbanding lurus dengan besarnya resultan gaya.

Yang kedua, dengan besar gaya yang sama, kita dorong satu balok bermassa 10 kg dan satu balok lain bermassa 30 kg. Mana yang lebih mudah bergerak? Tentu yang 10 kg. Hal ini sesuai dengan Hukum I Newton. Besar percepatan berbanding terbalik dengan massa benda. Semakin besar massa suatu benda, semakin susah benda tersebut untuk bergerak.

(sumber: precidentphysic.blogspot.co.id)

Itulah asal-usul rumus yang kita kenal sekarang: sigma F = ma.

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan:

1. Rumus "ma" menyatakan resultan gaya yang bergerak pada arah tertentu. Jadi, misalkan ada gaya dorong (F) dan gaya gesek (fg) pada suatu balok, maka yang benar adalah F-fg = ma, bukan F = ma. Rumus ini harus diperlakukan untuk sistem.
2. Rumus ini hanya bisa diperlakukan untuk benda yang mengalami percepatan konstan. Jika percepatan berubah selama selang waktu tertentu, harus diselesaikan menggunakan pendekatan kalkulus.
3. Rumus ini berlaku jika massa konstan. Jika massa berubah, misalkan pada peristiwa fusi atau fisi, rumus ini tidak bisa digunakan.
4. Rumus ini berlaku jika kecepatan benda jauh lebih kecil dari kecepatan cahaya. Jika benda bergerak dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya, kita harus menggunakan konsep Relativitas Einstein untuk menjelaskan gerak benda ini.
5. Bersesuaian dengan Hukum I Newton dan Hukum II Newton, gaya adalah pemicu perubahan gerak benda, bukan yang membuat benda bergerak. Jika tidak ada gaya, benda masih bisa bergerak dengan percepatan konstan. Pertanyaannya, apakah benda bisa bergerak tanpa gaya apa pun? Bisa, tapi percepatannya pasti nol.

HUKUM III NEWTON

Suatu gaya memiliki pasangannya. Gaya yang dikerjakan ini disebut gaya aksi, dan gaya yang timbul akibat gaya aksi ini disebut gaya reaksi. Oleh karena itu. sepasang gaya tersebut dinamakan gaya aksi-reaksi.

Hal-hal yang harus diperhatikan:

1. Gaya aksi-reaksi besarnya sama dan arahnya berlawanan.
2. Gaya aksi dan gaya reaksi bekerja pada benda yang berbeda.

Misalkan saja kita memukul tembok, lalu kita merasa kesakitan. Mula-mula, tangan kita mengerjakan gaya aksi pada tembok. Kemudian, tembok tersebut mengerjakan gaya reaksi kepada tangan kita. Gaya aksi bekerja pada tembok dan gaya reaksi bekerja pada tangan. Kedua gaya bekerja pada dua benda yang berbeda. Oleh karena itu, peristiwa ini memenuhi Hukum III Newton.

Selanjutnya, ada suatu buku di atas tanah. Buku mengerjakan gaya gravitasi atau gaya tarik-menarik pada Bumi, dan gaya reaksinya adalah Bumi mengerjakan gaya gravitasi pada buku. Jadi, sebenarnya Bumi tertarik karena gaya gravitasi antara Bumi dan buku, hanya saja percepatannya sangat kecil sehingga kita tidak dapat merasakan pergerakan Bumi.

Sebenarnya, Hukum Newton ini nyaris nggak ada rumus. Hanya saja, kita perlu menguasai konsep agar dapat menjelaskan keadaan sehari-hari.

Kelebihan dan Kekurangan UNBK 2016

Ujian Nasional Berbasis Komputer (UNBK) dilaksanakan tanggal 4 – 12 April kemarin. Tidak seperti yang sudah-sudah, ujian kali ini berbeda, salah satunya adalah mulai menggunakan komputer, meski beberapa sekolah masih menggunakan kertas (PBT). Lalu, UNBK kali ini hanya mengujikan satu pelajaran setiap harinya.

Sekarang, saya ingin berbagi opini saya mengenai kelebihan dan kekurangan UNBK 2016. Ingat, ini hanya opini, jadi tidak bisa dijadikan patokan bagi semua orang. Kalian bisa setuju, bisa juga tidak.

Apakah Kuliah Penting?

Selepas masa sekolah, biasanya para siswa dihadapkan pada dua pilihan: lanjut kuliah atau langsung kerja saja. Ya memang, banyak pilihan lain (nikah muda misalnya, meski tidak disarankan. LOL). Tapi, jika digeneralisir, pilihannya ya hanya dua itu. Mau punya embel-embel gelar di belakang nama lengkap, atau punya embel-embel "pengusaha sukses". Kurang lebih pandangan masyarakat seperti itu.

Masalahnya, apakah kuliah itu penting?

Sekadar informasi, di dunia perkuliahan, terutama yang bergelar sarjana, lebih mengedepankan teori daripada praktik. Misalnya, mahasiswa jurusan manajemen bisnis tentu lebih sering belajar teori ekonomi seperti perilaku pasar. Mereka yang ada di jurusan teknik belajar teori Matematika dan Fisika dasar untuk penerapan pada mata kuliah di semester-semester berikutnya.

Lho, justru bagus dong?

Menurut sebagian pihak, kuliah hanya menghambat mereka. Teori yang berbelit-belit merupakan sebuah impedansi besar. (Agak fisika.) Kalau mau berdagang, ya dagang aja. Kalau kerja, kerja aja. Susah amat. Kebanyakan teori malah bingung untuk mengaplikasikannya.

Yang kedua, mereka menganggap kuliah tidak menentukan kesuksesan. Jika kita bertanya pada orang-orang di kubu ini, mereka akan menjawab, "Lah, Bill Gates nggak kuliah aja bisa jadi miliader gitu! Zucky bisa bikin Facebook, terus sekarang tinggal tidur-tidur di rumah nikmatin duit. Bahkan, banyak sarjana yang ujung-ujungnya jadi pengangguran. Daripada susah-susah belajar empat tahun terus nganggur, mending nggak kuliah sekalian, to?"

Saya termasuk pihak yang kurang setuju dengan pernyataan di atas. Menurut opini saya, kuliah itu penting.

Sangat penting.

Kenapa?

1. Bagaimanapun, kerja perlu pemahaman dasar.
Ibarat rumah yang perlu pondasi sebelum dibangun sampai jadi, orang juga perlu ilmu dasar sebelum bisa bekerja dengan matang. Kuliah membantu kita mendapatkan konsep dasar dari suatu pekerjaan. Ya, meski Om Bill bisa tanpa kuliah, tapi beliau adalah one of a kind. Jarang ada yang seperti itu.
Bagi yang tidak ingin menjadi pengusaha, namun menjadi engineer atau saintis, ilmu ini jauh lebih diperlukan. Tanda mutlak dimutlakkan lagi.

2. Kuliah membantu kita mendapatkan pengalaman organisasi dan relasi.
Zaman sekarang, banyak kok kegiatan organisasi mahasiswa. Tinggal pilih saja. Yang terpenting, maksimalkan peluang adanya organisasi di kampus. Dengan demikian, kita dapat belajar kepemimpinan, manajemen waktu dan emosi, pengelolaan SDM, dan kemampuan berbicara di depan orang banyak. Selain itu, kuliah juga memperluas koneksi kita. Bayangkan, orang yang kita temui di kampus bukan hanya teman seangkatan. Banyak! Jadi, seandainya setelah lulus kuliah ingin bekerja di suatu perusahaan, koneksi kita yang membantu. Kalau mau berbisnis pun bisa dapat lebih banyak pelanggan. Tidak rugi, kan?

3. Sebagai backup seandainya bisnis kita kelimpungan.
Pesaing semakin banyak. Bisa saja suatu saat bisnis kita jatuh. Kalau sudah demikian, bagaimana kita mencukupi kebutuhan?
Lamar kerja.
Sayangnya, sudah hampir tidak ada perusahaan yang menerima lulusan SMA. Bisa saja sih, tapi di posisi apa? Ketika punya ijazah, kita masih punya peluang.

4. Melatih rasa tanggung jawab.
Di dunia perkuliahan, kita dituntut untuk memenuhi absensi dan tugas-tugas yang harus dikerjakan. Kalau tidak, siap-siap jadi mahasiswa abadi, ya. Intinya, kita belajar untuk menerima konsekuensi.

Apakah kuliah penting?

Menurut saya, ya. Kuliah membantu banyak aspek kehidupan manusia, seperti ilmu pengetahuan, etika, rasa tanggung jawab, dan kemampuan interpersonal. Namun, saya tidak memberi stempel bahwa tidak kuliah itu haram, dosa, sia-sia. Hampir tidak ada hal yang murni hitam atau putih di dunia ini. Ada juga banyak hal yang bisa dipelajari di luar ruang kuliah.

Jadi, semuanya kembali lagi ke Anda. Ini kan pendapat belaka.

Membahas H2 Math (Latihan UEE NTU dan NUS)

Sesuai yang dijanjikan sebelumnya, saya bakal post tentang contoh soal H2 Math.

            Apa sih H2 Math?

            Jadi, H2 Math itu Matematika yang diajarkan di Junior College Singapura (setara SMA di Indonesia). Kok namanya bukan A-Level? Iya, sebenarnya ini memang setara dengan A-Level, hanya saja Ministry of Education-nya Singapura memodifikasi soalnya lagi supaya lebih berbobot. Jadilah H2 Math. H2 Math sendiri adalah lanjutan dari H1 Math, jadi anggapannya H2 Math lebih advanced dari H1 Math.

Materinya banyak yang berbeda dari materi di SMA Indonesia, misalkan saja di sana sudah diajarkan complex number, sedangkan kita belum. Cara pengerjaannya juga berbeda. Di Indonesia, matematikanya tentang hafal rumus. Di Singapura, kebanyakan soal matematika pertanyaannya hanya: “Show that … equals to ….” Murid dituntut untuk menggunakan logika, bukan sekadar hafal rumus. Apa ini menunjukkan kurikulum Indonesia tertinggal dengan kurikulum luar negeri? Bisa saja. Mungkin hal ini bisa jadi bahan introspeksi bagi pemerintah, tidak hanya menjadikan kurikulum sebagai alat politik. *no offense*

Jadi, begitulah pengantarnya. Sekarang saya bahas beberapa soal. Lumayan, bisa jadi soal latihan UEE NTU dan NUS. From now on, I’m using English, since you have to do the test, i.e. NTU and/or NUS’s UEE, in English, too. Well, you have to be used to it, otherwise you would struggle in doing the test.

PS:  I DO NOT own the question. All credit goes to mathdistinction.com. However, I worked on the solution by myself. I did it on Microsoft Word and used snipping tool.

Question 1

You can see that you are going to be told about the marks of each question.

            Let’s go straight to the problem.

            Analysis Step

            Look at the first inequality. Well, how should I solve this problem? Do I have to multiply each side by x-2? Or do I have to subtract x+1 from each side?

            Be aware. I said, BE AWARE.

            On the first glance, I know you would be tempted to multiply each side by x-2. But, you don’t know whether x-2 is a negative number or not. If it is negative, then you have to change the inequality sign. If it is not, then you do not have to.

            Such a gambling, isn’t it?

            So, the most righteous way to do this is to subtract x+1 from each side.

            “Working on the problem” Step

As I told before.

Almost done, folks. Just add here and subtract there.

The minus sign annoys me, so I multiply each side by -1. The sign changes from “greater than or equal to” to “less than or equal to”. Then, factorise.

From here on, use sign test. I’m sure you’ve learned it in your Senior High.

Before advancing, I want you to look at the denominator. The sign is a “less than or equal to”. But, since you cannot have zero at the denominator, you have to change it a little bit. ONLY for x-2, it has to be a strict inequality, not a weak inequality. By all means, you do not include 2 in the sign test.

See? The circle for 2 is hollow while the other circles are solid. I did this to distinct strict inequality and weak inequality.

As we need the negative result, the set of values of x are:

Let’s move to the second part.

When you see “hence”, then you do not have to think too far from your previous solution.

It seems like you have to work from scratch, but don’t!

There is an easier way to solve this.

Remember the first inequality?

Just replace x with 1/x.

Then, it is just algebra thing. We get the second inequality.

From the first solution, replace x with 1/x, again.

This is just a recriprocal business. When you change 1/x to x again, keep in mind that the sign has to be REVERSED.

Voila.

Ya, jadi itu soal tentang pertidaksamaan. Untuk mengerjakan pertidaksamaan, kita hanya perlu berlatih dan berlatih.